Diễn đàn lớp 09TCT trường CĐ KT-KT Đông Du

You are not connected. Please login or register

Cong thuc toan hoc

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Go down  Thông điệp [Trang 1 trong tổng số 1 trang]

1default Cong thuc toan hoc on 26/4/2010, 8:02 pm

phanvancong


Trung đoàn trưởng IT
Trung đoàn trưởng IT
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 10 & 11
1. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
1.1. Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c Û a > c
1.2. Tính chất 2: a > b Û a + c > b + c
Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng
chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c Û a – c > b
1.3 Tính chất 3:
a b
a c b d
c d
ì >
íî > Þ + > +
Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng
thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
1.4 Tính chất 4:
a > b Ûa.c > b.c nếu c > 0
hoặc a > b Ûc.c < b.c nếu c < 0
1.5 Tính chất 5:
0
. .
0
a b
a c b d
c d
ì > >
íî > > Þ >
Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng
thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
1.6 Tính chất 6:
a > b > 0 Þ an > bn (n nguyển dương)
1.7 Tính chất 7:
a > b > 0Þ n a > n b (n nguyên dương)
2. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):
Định lí: Nếu a ³ 0 và b ³ 0 thì .
2
a b a b
+ ³ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b
Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
chúng.
Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ
bẳng nhau.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện
tích lớn nhất.
Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó
bằng nhau.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu
vi nhỏ nhất.
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 1/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
3. Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:
0
0
x
x
x
ì >
= íî- >
Từ định nghĩa suy ra: với mọi xÎR ta có:
a. |x| ³ 0
b. |x|2 = x2
c. x £ |x| và -x £ |x|
Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:
|a + b| £ |a| + |b| (1)
|a – b| £ |a| + |b| (2)
|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ³ 0
|a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b £ 0
4. Đ nh lí Vi-et: ịN
ếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x1 , x2 (a ¹ 0) thì tổng và tích 2
nghiệm đó là:
S = x1 + x2 =
b
a
-
P = x1.x2 =
c
a
Chú ý:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = 1 và x2 =
c
a
+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 và x2 =
c
a
-
Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của
phương trình: x2 – S.x + P = 0
5. Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước:
a. Định nghĩa: Cho 2 điểm phân biệt A, B. Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
nếu MA = kMB
uuur uuur
b. Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ¹ 1 thì với điểm O bất kì ta có:
1
OM OA kOB
k
= -
-
uuur uuur
uuuur
6. Trọng tâm tam giác:
a. Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi: GA+GB +GC = 0
uuur uuur uuur r
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 2/18
nếu x ³ 0
nếu x < 0
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
b. Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có: 3OG = OA+OB +OC
uuur uuur uuur uuur
7. Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác:
7.1. Định lí Cosin trong tam giác:
Định lí: Với mọi tam giác ABC, ta luôn có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos
2 .cos
2 .cos
a b c bc A
b a c ac B
c b a ba C
= + -
= + -
= + -
7.2. Định lí sin trong tam giác:
Định lí: Trong tam giác ABC, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có:
2
sin sin sin
a b c R
A B C
= = =
7.3. Công thức độ dài đường trung tuyến:
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 4
2 4
2 4
a
b
c
m b c a
m a c b
m b a c
= + -
= + -
= + -
8. Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ:
Góc
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
0
6
p
4
p
3
p
2
p 2
3
p 3
4
p 5
6
p p
sin 0 1
2
2
2
3
2
1 3
2
2
2
1
2
0
cos 1 3
2
2
2
1
2
0 – 1
2
– 2
2
– 3
2
-1
tg 0
1
3
1 3 || – 3 1 –
1
3
0
cotg || 3 1
1
3
0 –
1
3
1 – 3 ||
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 3/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
9. Công thức biến đổi tích thành tổng:
cos .cos 1 [cos( ) cos( )]
2
sin .sin 1 [cos( ) cos( )]
2
sin .cos 1 [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= - + +
= - - +
= + + -
10. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ = + -
- = - + -
+ = + -
- = + -
11.Công thức nhân đôi:
2 2 2 2
2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin cos
2 2 ( , , )
1 2 2 2
a a a a a
a a a
tg a tga a k a k k
tg a
p p p p
= - = - = -
=
= ¹ + ¹ + Î
-
Z
12. Công thức nhân ba:
3
3
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
= -
= -
13. Công thức hạ bậc:
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 4/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
2
2
2
3
3
cos cos 2 1
2
sin 1 cos 2
2
1 cos 2
1 cos 2
sin 3sin sin 3
4
cos 3cos cos3
4
a a
a a
tg a a
a
a a a
a a a
= +
= -
= -
+
= -
= +
14. Công thức cộng:
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ = +
- = -
+ = -
- = +
Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện:
( ) (*)
1 .
( ) (**)
1 .
tg a b tga tgb
tga tgb
tg a b tga tgb
tga tgb
- = -
+
+ = +
-
(*) có điều kiện: , ,
2 2 2
a k b k a b k
¹ p + p ¹ p + p - ¹ p + p
(**) có điều kiện: , ,
2 2 2
a k b k a b k
¹ p + p ¹ p + p + ¹ p + p
15. Công thức tính tga, cosa, sina theo
2
t = tg a :
2
2
2
2
sin 2
1
cos 1
1
2 ,
1 2
a t
t
a t
t
tga t a k
t
p p
=
+
= -
+
= ¹ +
-
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 5/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
16. Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn kém nhau 1 góc
p hoặc
2
p :
16.1. Hai góc bù nhau:
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
p
p
p
p
- =
- = -
- = -
- = -
16.2. Hai góc phụ nhau:
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
( )
2
( )
2
a a
a a
tg a cotga
cotg a tga
p
p
p
p
- =
- =
- =
- =
16.3. Hai góc đối nhau:
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
- = -
- =
- = -
- = -
16.4 Hai góc hơn kém nhau 2
p
:
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
( )
2
( )
2
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
p
p
p
p
+ =
+ = -
+ = -
+ = -
16.5 Hai góc hơn kém nhau p :
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 6/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
a a
a a
tg a tga
cotg a cotga
p
p
p
p
+ = -
+ = -
+ =
+ =
16.6. Một số công thức đặc biệt:
sin cos 2 sin( )
4
sin cos 2 sin( )
4
x x x
x x x
p
p
+ = +
- = -
17. Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp:
17.1. Hoán vị:
+ Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, được sắp xếp
theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Số tất cả các hoán vị khác
nhau của n phần tử ký hiệu là Pn
+ Công thức : Pn =1.2.3.....n = n !
17.2 Chỉnh hợp:
+ Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 0 £ k £ n ) là một bộ sắp thứ tự
gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho. số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký
hiệu là k
An
+Công thức :
( )
1
0
1
!
!
( 1)...( 1)
( )
!
1
!
k
n
k
n
k k
n n
n
n n
n
n n
n n
A n
n k
A n n n k
A n k A
A P n
A
A A n
+
-
=
-
= - - +
= -
= =
=
= =
(qui ước 0! = 1)
17.3 Tổ chợp:
+ Định nghĩa: Cho một tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương). Một tổ hợp chập k
của n phần tử (0 £ k £ n ) là một tập con của a gồm k phần tử. Số tất cả các tổ hợp chập k
của n phần tử ký hiệu là k
Cn
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 7/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
+ Công thức:
!
!( )!
( 1)...( 1)
!
k
n
k
n
C n
k n k
C n n n k
k
=
-
= - - +
+ Tính chất:
0
0 1
1 1
1
1
... 2
k n k
n n
n
n n
n n
n n n
k k k
n n n
C C
C C
C C C
C C C
-
+ +
+
=
= =
+ + + =
+ =
17.4. Công thức Newton:
Tk là số hạng thứ k +1 của khai triển nhị thức (a + b)n : k n k k
Tk = Cn a - b
( )n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 ... m n m m ... n n
a + b = Cna +Cna - b +Cn a - b + +Cn a - b + +Cnb
18. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian:
18.1 Trong mặt phẳng:
Cho các vec-tơ a(x1, y1),b(x2 , y2 )
r r
và các điểm A(x1, y1), B(x2 , y2 ) :
a.b = x1x2 + y1y2
r r
2 2
| a |= x1 + y1
r
2 2
d = AB = (x2 - x1) + ( y2 - y1)
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos(a,b) x x y y
x y x y
= +
+ + +
r r
a ^ bÛ x1x2 + y1y2 = 0
r r
18.2 Trong không gian:
Cho các vec-tơ a(x1, y1, z1),b(x2 , y2 , z2 )
r r
và các điểm A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 ) :
a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2
r r
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 8/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
2 2 2
| a |= x1 + y1 + z1
r
2 2 2
d = AB = (x2 - x1) + ( y2 - y1) + (z2 - z1)
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos(a,b) x x y y z z
x y z x y z
= + +
+ + + +
r r
a ^ bÛ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
r r
19. Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian:
19.1 Đường thẳng trong mặt phẳng:
a. Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0
0 0
2 2
| Ax By C |
MH
A B
= + +
+
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = 0 và Ax + By + C2 = 0
1 2
2 2
|C C |
A B
-
+
b. Vị trí tương đối 2 đường thẳng:
(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0
(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
*( ) ( )
*( ) / /( )
*( ) ( )
*( ) ( )
d d A B
A B
d d A B C
A B C
d d A B C
A B C
d d A A B B
Ç ¹f Û ¹
Û = ¹
º Û = =
^ Û +
c. Góc giữa 2 đường thẳng:
(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0
(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
a = (d1, d2 )
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 9/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos | A A B B |
A B A B
a = +
+ +
d. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d1)và (d2):
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + = ± + +
+ + (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + )
e. Phương trình chùm đường thẳng có tâm là giao của 2 đường thẳng (d1)và (d2):
a (A1x + B1y +C1) +b (A2x + B2 y +C2 ) = 0 với a 2 +b 2 > 0
19.2 Đường thẳng trong không gian:
Góc giữa 2 đường thẳng:
(d1) có vector chỉ phương u = (a1,b1,c1)
r
(d2) có vector chỉ phương v = (a2 ,b2 ,c2 )
r
a là góc giữa (d1) và (d2)
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos | a a b b c c |
a b c a b c
a = + +
+ + + +
(d1) ^ (d2 )Ûa1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
20. Mặt phẳng:
a. Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:
0 0 0
2 2 2
| Ax By Cz D |
MH
A B C
= + + +
+ +
b. Chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng:
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
P A x B y C z D
Q A x B y C z D
+ + + =
+ + + = là phương trình mặt phẳng có dạng:
a (A1x + B1y +C1z + D1) +b (A2x + B2 y +C2z + D2 ) = 0
21.Cấp số cộng:
+ Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của
số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.
"nÎ N*,Un+1 =Un + d
+ Tính chất của cấp số cộng :
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 10/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
Un+1 -Un =Un+2 -Un+1
2
1 2
n n
n
U U
U +
+
= +
+ Số hạng tổng quát: Un =U1 + d(n -1)
+ Tổng n số hạng đầu:
( 1 )
2
n
n
a a n
U
= +
2 1 ( 1)
n 2
U a d n n
= + -
22. Cấp số nhân:
+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số
hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0
và khác 1 gọi là công bội.
"n Є N*, Un + 1 = Un.q
+ Tính chất :
1 2
1
n n
n n
U U
U U
+ +
+
=
Un+1 = Un.Un+2 , Un > 0
+ Số hạng tổng quát :
Un = U1.qn - 1
+ Tổng n số hạng đầu tiên: 1 2 1
... 1
1
n
n n
S U U U U q
q
= + + + = -
-
+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1
1
1 2 ...
n n 1
S U U U U
q
= + + + =
-
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM & TÍCH
PHÂN 12
I. Đạo hàm:
1. Bảng các đạo hàm cơ bản:
STT Hàm số y Đạo hàm y’
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 11/18
STT Hàm số y Đạo hàm y’
1 u
'
2
u
u
2
1
u 2
u '
u
-
3 eu u'.eu
4 au au.lna.u’
5 ln|u|
u '
u
6 logau
'
.ln
u
u a
7 sinu cosu.u’
8 cosu sinx.u’
9 tgu 2
'
cos
u
u
10 cotgu 2
'
sin
u
u
-
11 y=f(u) và u=g(x) y'
(x)=y’(u).g’(x)
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
1 C 0
2 x 1
3 x2 2x
4 x
1
2 x
5 xn n.xn-1
6
1
x 2
1
x
-
7 ex ex
8 ax ax.lna
9 ln|x|
1
x
(x¹ 0)
10 logax
1
x ln a
11 xa a xa -1
12 sinx cosx
13 cosx sinx
14 tgx 2
1
cos x
15 cotgx 2
1
sin x
-
2. Tính chất của đạo hàm:
a. (u + v)’ = u’ + v’
b. (u – v)’ = u’ – v’
c. (u.v)’ = u’.v + u.v’
d. (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’
e.
'
2
u u '.v v '.u
v v
æçè ö÷ø = -
II. Nguyên hàm:
1. Bảng các nguyên hàm cơ bản:
STT Hàm số & Nguyên hàm
1 òdx = x +C
2
1
1
x dx x C
a
a
a
+
= +
ò + (a ¹ -1)
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 12/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
3 dx dx ln | x | C
x
ò = + (x ¹ 0)
4 òexdx = ex +C
5
ln
x
axdx a C
a
ò = + (0 < a ¹1)
6 òsin xdx = -cos x +C
7 òcos xdx = sin x +C
8 2
1
cos
dx tgx C
x
ò = + ( )
2
x k
¹ p + p
9 2
1
sin
dx cotgx C
x
ò = - + (x ¹ kp )
2. Một số nguyên hàm khác:
* Hàm y = ( )m
a
x -a (m¹ 1) . Hàm số có dạng : '
m
u
u
= u'.u-m (m¹ 1) với u = x-a
Nguyên hàm là : ( )m
a dx
ò x -a = a. 1
1
(m 1)(x a )m-
-
- - + C
* Hàm y = 2
2ax b
ax bx c
+
+ +
. Đặt t = ax2 + bx + c Þ t' = 2ax + b
Hàm số có dạng : t '
t
Þ Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln| ax2 + bx + c | + C
Þ 2
2
2ax b dx ln | ax bx c | C
ax bx c
+ = + + +
ò + +
* Hàm 2
y 1
ax bx c
=
+ + . Ta có các trường hợp sau :
+ Mẫu số ax2 + bx + c có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và giả sử x1 < x2 . Ta có :
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2 ) . Ta có thể viết như sau :
2
1 dx
ò ax + bx + c =
1 2
1
( )( )
dx
ò a x - x x - x = 1 2
1 2 2 1
1 ( ) ( )
( )( )
x x x x dx
a x x x x x x
é - - - ù
ò êë - - úû -
=
2 1 1 2
1 1 1
( )
dx
a x x x x x x
é ù
- ò êë - - - úû
= 2
2 1 1
1 ln
( )
x x C
a x x x x
- +
- -
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 13/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
+ Mẫu số có nghiệm kép : ax2 + bx + c = a(x -m)2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( )
dx dx dx C
ax bx c a x m a x m a x m
= = = - +
ò + + ò - ò - -
+ Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm):
ax2 + bx + c = a(x + m)2 ± n . Đặt u = (x + m)2 . Ta có :
* ax2 + bx + c = a.u2 + n
Þ 2
1 dx
ò au + n . Đặt u n tgt
a
=
* ax2 + bx + c = a.u2 - n Þ 2
1 dx
ò au - n . Nguyên hàm là :
2
2
1 1 1 1 1 ln
2
u n
dx a C
au n a u an a an u an
-
= = +
- - +
ò ò
3. Họ nguyên hàm của các hàm vô tỉ :
3.1. Hàm số có dạng : 2 2
f (x) 1
x k
=
+
; 2 2
f (x) 1
x k
=
-
* Cách 1 : Đặt x2 + k 2 = -x + t Þ t = x + x2 + k 2
Þ dt = 2 2
(1 x )dx
x k
+
+
=
2 2
2 2
x k x dx
x k
+ +
+
= 2 2
t dx
x + k
Þ 2 2
dx dt
x k t
=
+
. Do đó : 2 2
2 2
dx dt ln | t | C ln | x x k | C
x k t
= = + = + + +
ò + ò
*Cách 2: Biến đổi :
2 2
2 2 2 2 2 2
1
( )
x x k
x k x k x x k
= + +
+ + + +
( Nhân tử và mẫu với x + x2 + k2 )
Ta có : 2 2
2 2
1
( )
( )
x
f x x k
x x k
+
= +
+ +
( Chia tử và mẫu cho x2 + k 2 )
Đặt t = x + x2 + k2 . Suy ra : 2 2
dt (1 x )dx
t x k
= +
+
Þ f (x)dx = dt
t
Vậy nguyên hàm là : ò f (x)dx = ln | t | +C = ln | x + x2 + k 2 | +C
Tương tự : 2 2
1 dx
ò x - k = ln | x + x2 - k2 | +C .
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 14/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
3.2. Hàm số dạng : 2 2
f (x) 1
k x
=
-
và 2 2
f (u) 1
k u
=
-
Đặt x = k sin t với [ ; ]
2 2
x
Î -p p (hoặc x = k cos t với xÎ[0;p ] )
Þ dx = k costdt Þ 2 2 2 2
1 cos .
(1 sin )
k t dt
dx
k x k t
=
ò - ò - = 2
cos . cos .
cos ) | cos |
k t dt t dt
k t t
ò = ò
Vì [ ; ]
2 2
t
Î -p p nên cost > 0 Þ
cos . cos
| cos | cos
t dt t
dt dt t C
t t
ò = ò = ò = +
Tương tự: 2 2
1
du
ò k - u = t + C
3.3. Hàm số dạng : f (x) = x2 - k2 ; f (u) = u2 - k2
Nguyên hàm là :
2
2 2 2 2 ln | 2 2 |
2 2
x k
ò x - k dx = x - k + x + x - k +C
Cách khác: đặt sin
k
x
t
= hoặc cos
k
x
t
= với [0; ]
2
t
Î p
3.4. Hàm số dạng : f (x) = ax2 + bx + c
Þ Ta biến đổi về một trong hai dạng sau: f (x) = u2 - k2 hoặc f (x) = u2 + k 2 rồi áp
dụng theo mục 3.
3.5. Hàm số dạng : f (x) = x2 + k 2 và f (u) = u2 + k 2
Đặt x = ktgt , u = ktgt với [- ; ]
2 2
t
Î p p
3.6. Hàm số dạng : 2 2
f (x) 1
x m
=
-
hoặc 2 2
f (u) 1
u m
=
-
Phân tích thành : 2 2
f (x) 1
x m
=
-
=
1 1
x m x m
+
- + rồi áp dụng theo công thức đã học.
3.7. Hàm số dạng : 2 2
f (x) 1
x m
=
+
hoặc 2 2
f (u) 1
u m
=
+
+ Đặt x = mtgt , u = mtgt với [- ; ]
2 2
t
Î p p
Þ 2 2 2 2 2 2
1 1 . | ost |
( 1) cos os t
dx m dt c dx
x m m tg t t c
= =
ò + ò + ò
Vì [- ; ]
2 2
t
Î p p nên 2 2
| ost | ost
os t 1 sin
c dx c dt
c t
=
ò ò -
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 15/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
+ Đặt tiếp : u = sin t Þ du = costdt .Do đó : 2 2
ost 1
1 sin 1
c dt du
t u
=
ò - ò - 1 ln 1
2 1
u C
u
= - - +
+
4. Các trường hợp tổng quát cần chú ý :
a. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với cosx : Đặt: t = sinx
b. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx : Đặt: t = cosx
c. Trường hợp: f(x) là hàm chẵn đới với sinx và cosx :
R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)
d. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx và cosx : Đặt: t = tgx
e.Trường hợp: f(x) chỉ chứa sinx hoặc cosx : Đặt 2
t = tg x
* Phương pháp chung:
A. Dạng f(x) = sin2nx.cos2mx :
(a) sin2 (1 cos 2 )2
2
n xdx x dx
ò = ò -
(b) os2 (1 cos 2 )2
2
c m xdx x dx
ò = ò +
(c) òs in2n xcos2m xdx . Thay cos2x = 1 – sin2x hoặc thay sin2x = 1 – cos2x rối chuyển về dạng
(a) hoặc (b).
B. Dạng :
2n
2m
( ) s in
os
f x x a
c b
= +
+
. Đặt t = tgx
III. Phương trình lượng giác
1. Phương trình cơ bản:
* sinx = sina x = a + k2π
hoặc x = π - a + k2π
* cosx = cosa ⟺ x = ± a + k2π
* tgx = tg a ⟺ x = a + kπ (x ≠ k )
* cotgx = cotga ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ)
2. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:
Các phương trình lượng giác
* asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 (1)
* asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = 0 (2)
* asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3)
gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx.
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 16/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
Do cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x,
cos4x đưa phương trình đã cho về phương trình mới và ta dễ dàng giải các phương trình
này.
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
* sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ 0 phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 - c2 ≥ 0
Có ba cách giải loại phương trình này :
- Giả sử a ≠ 0
(1) sin x b cos x c 0
a a
Û + + = (2)
Đặt : tg b
a
j =
(2) sin x tg cos x c 0
a
Û + j + = sin(x ) c cos
a
Û +j = - j
Ta dễ dàng giải phương trình này.
- Đặt :
2
tg x = t
2
2 2
(1) 2 1 0
1 1
a t b t c
t t
Û + - + =
+ +
Giải phương trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải được phương trình (1).
- Do a2 + b2 ¹ 0 , chia hai vế của phương trình cho a2 + b2 :
2 2 2 2 2 2
(1) a sin x b cos x c
a b a b a b
Û + = -
+ + +
Đặt :
2 2
2 2
sin
cos
a
a b
b
a b
a
a
ì = ï + ï
í
ï =
ïî +
2 2
(1) sin(x ) c
a b
Û +a = -
+
(đây là phương trình cơ bản).
Chú ý : Ta luôn có :
| asin x + bsin x |£ a2 + b2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi sin(x + a) = 1.
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 17/18
Ôn t ập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng số)
Giải phương trình (1) bằng cách đặt :
sinx + cosx = t , | t |£ 2
Đưa (1) về phương trình
bt2 + 2at - (b + 2c) = 0
Giải phương trình (2) với | t |£ 2 .
5. Hệ phương trình lượng giác:
1) Hệ phương trình lượng giác một ẩn. Chẳng hạn có hệ phương trình :
sin 1
cos 0
x
x
= ì
í
î =
Có hai phương pháp giải :
* Phương pháp thế, giải một phương trình của hệ rồi thế nghiệm tìm được vào phương
trình còn lại.
* Phương pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm của mỗi phương trình trong hệ, sau đó
tìm nghiệm chung.
2) Hệ phương trình lượng giác hai ẩn. Chẳng hạn có hệ phương trình :
3
sin sin 1
x y
x y
p ì + = ï
í
ïî + =
Phương pháp chung là đưa nó về hệ phương trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phương trình
tổng tích.
Email: duytrung8x@gmail.com Trang 18/18

Xem lý lịch thành viên

2default Re: Cong thuc toan hoc on 29/4/2010, 12:14 am

I only own


Quân đoàn trưởng IT
Quân đoàn trưởng IT
nói thật là quá rãnh luôn ! nếu viết được công thức như thể thì sao ko lên bảng làm đi , làm trong này thì ai chấm điểm cho ông chứ . Nãn

Xem lý lịch thành viên

3default Re: Cong thuc toan hoc on 29/4/2010, 3:59 pm

TuanOri


Quân đoàn trưởng IT
Quân đoàn trưởng IT
Công chơi mê hồn trận à? Nhìn vào là thấy nản rồi. Hoa cả mắt!

Xem lý lịch thành viên

4default nham do ma on 4/5/2010, 2:37 pm

phanvancong


Trung đoàn trưởng IT
Trung đoàn trưởng IT
do em voi qua khong chinh kip xin loi ca nha nghe ^^

Xem lý lịch thành viên

5default Re: Cong thuc toan hoc on 27/5/2010, 3:37 pm

KID


Tư lệnh IT
Tư lệnh IT
tui thấy post thừa rùi đó,chả có tác dụng chi cả.chỉ tổ chật đất

Xem lý lịch thành viên

6default Re: Cong thuc toan hoc on 28/5/2010, 1:58 am

thanhsonqn98


Quân đoàn trưởng IT
Quân đoàn trưởng IT
Nói thật chứ nhìn vào chã hiểu cái chi hết, đến mấy nhà thiên tài toán học nhìn vào cũng pó tay chứ nói gì đến dân tin
Đề nghị coi lại cách post cho dễ hiểu chút ah

Xem lý lịch thành viên

7default Re: Cong thuc toan hoc on 5/6/2010, 12:08 pm

thang nay no post cai j the nay!!!!

Xem lý lịch thành viên

8default Re: Cong thuc toan hoc Today at 7:13 am

Sponsored content


Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Về Đầu Trang  Thông điệp [Trang 1 trong tổng số 1 trang]

Permissions in this forum:
Bạn không có quyền trả lời bài viết